Diagrama de Hasse

En matemáticas, un diagrama de Hasse es un represenación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La represenación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas.

Supongamos que tenemos una relación R en A que es relación de orden. Primeramente sabemos que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Formamos el grafo con los elementos de A, estos son los nodos, y las aristas son conexiones entre nodos relacionados, en este caso es un grafo dirigido. La primera condición es que si dos elementos están relacionados, digamos (a,b) ∈ R entonces dibujamos b a un nivel superior de a.

Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representar lazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada es reflexiva.

Puesto que la transitividad también está implicada, se puede prescindir de mostrar líneas entre elementos que tengan un elemento intermedio relacionado, pues se sobrentienden.

Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de representar y sobretodo de entender.

 ejemplo

sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad (D60,|). Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

Los diagramas de Hasse son útiles para darse cuenta de si dos c.p.o.’s son isomorfos o no. Por ejemplo el c.p.o. Tiene el siguiente diagrama:

lo que hace evidente el isomorfismo con ({1, 2, 3, 6}, |).

En cambio el c.p.o. ({1, 2, 3, 4}≤) tiene el diagrama:

y se ve claramente que no es isomorfo a ({1, 2, 3, 6}, |).

Como ejemplo adicional observemos el diagrama de Hasse del
c.p.o. ({2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 25}), |):

Como se ve este c.p.o. no tiene máximo ni mínimo, pero tiene tres elementos minimales (2, 3 y 5) y cuatro maximales (6, 8, 9 y 25). Su número de Dilworth es 4.